Задача #138

Цена

Условие

Проверить, являются ли данное отношение отношениям эквивалентности

На множества натуральных чисел

Решение

эквивалентность это рефлексивное, симметричное, транзитивное отношение.

Используем следующие определение сравнимости по модулю

Проверим рефлексивность

Так как для любого натурального числа , то , то есть для любого натурального

Проверим на симметричность

Пусть , тогда , то есть , значит , то есть , откуда следует, что .

Вывод: – симметрично.

Проверим на транзитивность

Пусть и , тогда и , откуда и , значит , то есть

вывод – транзитивно.

Ответ: так как рефлексивно, симметрично и транзитивно, то является отношением эквивалентности.